پایان نامه ارشد درباره −، k، x، FDTD

H y
1

∂E

.

x

∂z

ε0

∂t

(4-1)

∂Ex
.
1

∂H y

∂z

μ0

∂t

معادلات فوق مربوط به موج صفحه ای با میدان الکتریکی در جهت
x و میدان مغناطیسی در جهت y

است که در جهت z
منتشر می شود.

با استفاده از تقریب تفاضل مرکزی در مشتق های زمانی و مکانی داریم:

1
n
1

n

1

1

(

) − H y (k −

H y (k k
1

(k)
2
(k) − Exn−
2
Exnn

(5-1)

2

2

.

x

ε0

t

1

1

1

n

1

nn1

(k)
2
(k 1) − Exnn
2
Exnn
.
1


(

H y (k k
) −

(k

H y

(6-1)

2

2

t

x

μ0

در این دو معادله زمان با نماد n مشخص شده که به صورت زیر تعیین می شود:

t t t .n (7-1)

n 1 ، گام زمانی بعدی را نشان می دهد.

فصل اول: معرفی روش FDTD ١٠

k نماد فاصله است که به صورت زیر مشخص می شود:

z z z.k (8-1)

فرض می شود که میدان های E و H از نظر زمانی و مکانی یک در میان واقع شده باشند. H از

آرگومان های k 12 و k − 12 برای نشان دادن این که مقادیر میدان H بین مقادیر میدان E واقع شده

اند استفاده می کند. این امر در شکل (1-1) به طور واضح نشان داده شده است. به طور مشابه n 12 و

n − 12 نشان می دهند که کمی بعد یا قبل از میدان واقع شده است.

1
Exn−

k

2

k k1

k −1

1

1

H n

k k

k −
y

2

2

1
Exnn

2

k k1

k

k −1

شکل(: (1-1 یک در میان قرار گرفتن میدان های E و H از نظر زمانی و مکانی در فرمول بندی FDTD

معادلات (5-1) و (6-1) می توانند در الگوریتم تکرار به صورت زیر نوشته شوند:

(9-1)

1
n
1
n
t
1
n−
1
nn

(

) − H y (k −

[H y (k

2 (k) −
2 (k) Ex
Ex

2

2

ε0 . x

فصل اول: معرفی روش FDTD ١١

(10-1)
1
nn
1
nn
t

1
n
1

nn1

2 (k)]
1) − Ex
2 (k
[Ey

) −

) ) H y (k

(k
H y

μ0 . x

2

2

همان طور که در معادلات فوق مشاهده می شود محاسبات در زمان و مکان یک در میان می باشند. در

معادله (10-1) مقدار جدید Ex از مقدار قبلی Ex و جدید ترین مقادیر H y به دست آمده است. این یک

مثال ساده از الگوریتم FDTD است.

معادلات (9-1) و (10-1) بسیار مشابه می باشند، اما چون ε0 و μ0 از نظر مرتبه بزرگی بسیار متفاوت

می باشند، Ex و H y نیز از مرتبه بزرگی بسیار متفاوت خواهند بود. از این مشکل می توان با تغییر

متغیر زیر اجتناب نمود:

(11-1)

E
ε0

~


μ

E E

با جای گزینی معادله (11-1) در معادلات (9-1) و (10-1) داریم:

(12-1)

1
n

1
n
t
1
1
~ n−

1

~ nn

2)]
y (k −
) − H
. x [H y
(k 2
μ0 .ε0
2 (k) −
2 (k) Ex

Ex

(13-1)
1
~ nn
1

t ~ nn

1
1
n

1

nn1

2 (k)]
1) − Ex
2 (k

x [Ey

μ0 .ε0
2) −
H y (k k
) )
2
(k

H x

در ابتدا x
انتخاب می شود و سپس گام زمانی t
به صورت زیر تعیین می شود:

(14-1)

x

t t

2.c0

که در آن
c0 سرعت نور در فضای آزاد است. بنابراین خواهیم داشت:

فصل اول: معرفی روش FDTD ١٢

(15-1)
1


x 2.c
t

1

x x c0 .
.

2

x

μ0 .ε0

آن چه در برنامه FDTD باید مد نظر قرار گیرد به شرح زیر است:

Ex -1 و H y در حلقه های جدا محاسبه می شوند و اینترلیوینگ که در بالا بیان شد در آن ها به کار

می رود.

-2 بعد از محاسبه مقادیر Ex سورس محاسبه می شود که می تواند منبع سخت یا نرم باشد. اگر منبع

مقدار مشخصی را به Ex اختصاص دهد، منبع سخت و اگر مقداری را به Ex در نقطه مشخصی اضافه

کند منبع نرم نامیده می شود.

به طور خلاصه انتخاب های زیر باید در روش
FDTD انجام شود:

-1
استفاده از واحدهای نرمالیزه شده:

معادلات ماکسول به صورت زیر نرمالیزه می شوند.

(16-1)

Ε
ε0
~


μ
E E

فصل اول: معرفی روش FDTD ١٣

دلیل استفاده از این نرمالیزاسیون سادگی در فرمول بندی می باشد. میدان های E و H مرتبه یکسانی

مطلب مشابه :  پایان نامه ارشد دربارهj,، FDTD، z، k)

از مغناطیس دارند. این امر یکی از مزایایی می باشد که در فرمول بندی لایه تطبیق کامل PML به کار

می رود، که بخش ضروری در شبیه سازی FDTD می باشد.

PML -2 در شرایط مرزی:

شرایط مرزی جذب ABC مسائل مهمی در شبیه سازی FDTD می باشند. ABC از ایجاد انعکاس

در لبه های فضای مسئله جلوگیری می کند. روش های مختلفی برای این کار وجود دارد، اما ما از روش

PML استفاده می کنیم.

-3
به کار بردن معادلات ماکسول با چگالی شار:

در فرمول بندی معادلات ماکسول در روش
FDTD از فرمول های زیر استفاده می شود.

(17-1)

×H
∂D

∂t

(18-1)

D D εE

(19-1)

××E
1

∂H

μ0

∂t

در این فرمول بندی فرض شده که مواد شبیه سازی شده غیر مغناطیسی باشند، یعنی:

H H 1 B (20-1)

μ

فصل اول: معرفی روش FDTD ١۴

-4-1 پایداری در روش FDTD

یک موج الکترومغناطیسی که در فضای آزاد منتشر می شود نمی تواند سرعتی بالاتر از سرعت نور داشته

باشد. برای انتشار موج در طول یک سلول حداقل زمان ممکن
x
t t
خواهد بود. وقتی مسئله در دو

c0

بعد مطرح می شود زمان انتشار به
x
t می باشد. این شرط به نام شرط کورانت معروف است، که

2c0

به صورت زیر بیان می شود.

(21-1)

x
t ≤

nc0

که n بعد شبیه سازی می باشد.
در این پروژه ما از تقریب زیر استفاده می کنیم:

(22-1)

x
t t

2c0

-5-1 تعیین اندازه سلول:

انتخاب اندازه سلول که در فرمول بندی FDTD به کار می رود مشابه هر روش تقریب است. باید

اطمینان حاصل شود که نقاط نمونه برداری برای جایگزین شدن به اندازه کافی می باشند. تعداد نقاط در

هر طول موج به عوامل زیادی بستگی دارد. یک تقریب خوب 10 نمونه در هر طول موج می باشد. یعنی:

(23-1)
λ0

x x

10

فصل اول: معرفی روش FDTD ١۵

-6-1 شبیه سازی در سه بعد به روش FDTD در فضای آزاد:

شکل (2-1) نمونه ای از FDTD اصلی در سلول Yee را نشان می دهد. همان طور که در شکل نشان

داده شده است میدان های E و H به طور یک در میان در اطراف سلول Yee قرار گرفته اند که مبداء

آنها i, j, k می باشد. هر میدان E در فاصله 12 از مبداء و در جهت گرایش میدان قرار دارد و هر میدان

H در فاصله 12 از مبداء و درتمام جهت ها به غیر ازجهتی که امتداد یافته قرار گرفته است.

شکل : (2-1) سلول yee

فصل اول: معرفی روش FDTD ١۶

حال با معادلات ماکسول آغاز می کنیم:

(24-1)

~

××H

1

∂D


ε
μ

∂t

(25-1)
~

*

~

r (w).E(w)
D(w) ε

(26-1)
~

1

∂H

×E
μ

ε


∂t

در این جا از نماد ~ اجتناب می کنیم، اما همیشه فرض می کنیم که از مقادیر نرمالیزه شده استفاده می

کنیم.

از معادلات فوق شش معادله دیگر به دست می آید:

(27-1)

(28-1)

(29-1)

(30-1)

(31-1)

.( ∂∂Hyx − ∂∂Hzy )

.(∂∂Hzx − ∂∂Hxz )

.(∂∂Hxy − ∂∂Hyx )

.(∂∂Ezy − ∂∂Eyz )

.(∂∂Exz − ∂∂Ezx )

1

∂Dx

ε0 μ0

∂t

1

∂Dy

ε0 μ0

∂t

1

∂Dz

ε0 μ0

∂t

1

∂H x

ε0 μ0

∂t

1

∂H y

ε0 μ0

∂t

فصل اول: معرفی روش FDTD ١٧

(32-1)
(
∂Ey

∂Ex
).
1

∂H z

∂x

∂y

μ

ε

∂t

اولین گام استفاده از تقریب تفاضل محدود می باشد. به عنوان مثال از معادلات (29-1) و (32-1)

استفاده می کنیم، سایر معادلات نیز به همین صورت نوشته می شوند.

) −
1
, j, k
1
(H yn (i
t

(33-1)
2

2

x ε0 μ0

12) H xn (i, j − 12 , k 12)

1 nn11n−1
+ Dz 2 (i, j, k 2) Dz 2 (i, j, k 2)

+ H yn (i − 12 , j, k 12) − H xn (i, j 12 , k

1
1
(Eynn

t

1

1 ,
) ) H zn (i
1

1
H znn

مطلب مشابه :  منابع پایان نامه دربارهاستان تهران، داده ها و اطلاعات، قلب و عروق، افراد فعال

, k) −

(i 1, j
2

, k) )

j j

(i, j, k
2

2

ε0 μ0

2

2

(34-1)

x

2

1
1
, j 1, k) ) Exnn

1

1
, k) − Exnn
1
1
Eynn

, j, k)

(i
2

(i
2

(i, j
2

2

2

2

-7-1 خواص الکترومغناطیسی در مرز بین دو سلول:

برای سلول های مرزی یعنی سلول هایی که در مرز بین دو محیط واقع شده اند خواص مغناطیسی

ازقبیل ضریب دی الکتریک و نفوذ پذیری مغناطیسی باید محاسبه شوند. افرادی از قبیل

Li, J.Kang, Shin روش متوسط گیری را برای به دست آوردن خواص الکترومغناطیسی در مرز دو

محیط غیر یکسان ارائه نموده اند. اولین فرضی که ما در این جا در نظر می گیریم عدم پیوستگی در

خواص الکترومغناطیسی در سطوح مشترک می باشد. البته این عدم پیوستگی باید به صورتی باشد که

فصل اول: معرفی روش FDTD ١٨

میدان الکتریکی در فصل مشترک این چهار محیط واقع گردیده و میدان مغناطیسی در وسط هر سلول

باشد. قبل از پرداختن به روش متوسط گیری باید بدانیم که μz (i, j, k) ضریب نفوذپذیری است که از

آن برای محاسبه مقدار جدید میدان مغناطیسی در جهت محور z استفاده می کنیم. نفوذپذیری در مرز

بین دو محیط از رابطه زیر به دست می آید:

(35-1)
[μzz (i, j, k) ) μzz (i, j, k −1)]
1
μz (i, j, k)

2

در رابطه بالا منظور از
μzz نفوذپذیری در جهت z است. شرطی که در اغلب حالات آن را در نظر می

گیریم ایزوتروپیک بودن محیط است که با این فرض ضریب نفوذپذیری در جهت هر سه محور باهم

مساوی خواهند بود. منظور از این عبارت در رابطه زیر مشاهده می شود:

μzz (i, j , k) μyy (i, j, k) μxx (i, j, k) μ(i, j, k) (36-1)

آن چه در بالا دیدیم نحوه محاسبه ضریب نفوذپذیری بود که از آن در محاسبه مقدار جدید میدان

مغناطیسی استفاده می نماییم. اما پارامتر دیگری که جزو خواص الکترومغناطیسی محیط است ضریب

دی الکتریک است که از این پارامتر برای محاسبه مقدار جدید میدان الکتریکی استفاده می شود. نکته

ای که در این جا باید به آن توجه کرداین است که میدان الکتریکی روی یال سلول قرار دارد، در نتیجه

این میدان می تواند در نقطه مشترک مربوط به چهار محیط مختلف نیز واقع شود. در چنین شرایطی در

این نقطه ضریب دی الکتریک باز هم با فرض ایزوتروپیک بودن به صورت زیر به دست می آید:

فصل اول: معرفی روش FDTD ١٩

(37-1)
[ε(i, j, k) )ε(i, j −1, k) )ε(i, j, k −1) 1ε(i, j −1, k −1)]
1
ε(i, j, k)

4

-8-1 لایه تطبیق کامل [23] PML

وقتی یک موج در فضای مورد نظر منتشر می شود، در نهایت به لبه های مکان مورد نظر می رسد. اگر

در برنامه هیچ شرط مرزی ای در نظر گرفته نشود، انعکاس های غیرقابل پیش بینی ایجاد می شود که

در نهایت به داخل بر می گردد و نمی توان تعیین کرد کدام موج، موج اصلی و کدام یک موج برگشتی

(انعکاسی) می باشد. بنابراین شرط مرزی جذب ABC در FDTD به کار می رود. روش های مختلفی

برای این منظور وجود دارد. یکی از موثرترین و قابل انعطاف ترین ABC ها، PML یا لایه تطبیق کامل

است که به وسیله Berenger ارائه
شده است. ایده اصلی به این صورت است: اگر یک موج در محیط A

منتشر شود و وارد محیط B شود، مقدار انعکاس به وسیله امپدانس های ذاتی در محیط به صورت زیر

مشخص می شوند:

(38-1)
B
−η
A
η
Γ

Leave a Comment